关于并查集

刚开始接触并查集,是因为在做最小生成树题目的时候,对Prim算法和Kruskal算法不熟悉(说起来也囧...),那个时候对这两个算法研究的不深,所以感觉用这两个算法来求解最小生成树的话有点繁琐。所以就上网查了一下大牛的写法,于是就找到了“并查集”这种方法。大牛不愧是大牛啊,用并查集求解最小生成树,太好理解了

稍微介绍一下Prim算法和Kruskal算法,这两个算法是寻找最小生成树的经典方法,两者皆为贪心法

Prim算法:是图论的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。即由此算法搜索到的边子集构成的树中,不但包含了连通图里的所有顶点,且其所有边的权值之和也为最小。

Kruskal算法:也是图论的一种算法,跟Prim算法将一个个点添加到集合中不同, Kruskal算法是先将图中的边按权值排序,每次选取最小边,并判断是否会构成回路,如果不会,则添加到集合中。

下面开始回归正题,说一下并查集吧,以下是转载的:

并查集是我暑假从高手那里学到的一招,觉得真是太精妙的设计了。以前我无法解决的一类问题竟然可以用如此简单高效的方法搞定。不分享出来真是对不起party了。

来看一个实例,杭电1232畅通工程 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232

首先在地图上给你若干个城镇,这些城镇都可以看作点,然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点,让你判断它们是否连通,或者问你整幅图一共有几个连通分支,也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题,问还需要修几条路,实质就是求有几个连通分支。如果是1个连通分支,说明整幅图上的点都连起来了,不用再修路了;如果是2个连通分支,则只要再修1条路,从两个分支中各选一个点,把它们连起来,那么所有的点都是连起来的了;如果是3个连通分支,则只要再修两条路……

以下面这组数据输入数据来说明

4 2 1 3 4 3

第一行告诉你,一共有4个点,2条路。下面两行告诉你,1、3之间有条路,4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路,把2和其他任意一个点连起来,畅通工程就实现了,那么这个这组数据的输出结果就是1。好了,现在编程实现这个功能吧,城镇有几百个,路有不知道多少条,而且可能有回路。 这可如何是好?

我以前也不会呀,自从用了并查集之后,嗨,效果还真好!我们全家都用它!

并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么,函数find是查找,join是合并。

int pre[1000 ];

int find(int x){ //查找根节点

int r=x; while (pre[r ]!=r) r=pre[r ]; //路径压缩

int i=x; int j; while(i!=r) { j=pre[i ]; pre[i ]=r; i=j; } //返回根节点

return r;

void join(int x,int y) { //判断x y是否连通

//如果已经连通,就不用管了 //如果不连通,就把它们所在的连通分支合并起,

int fx=find(x),fy=find(y);

if(fx!=fy) pre[fx ]=fy; }

为了解释并查集的原理,我将举一个更有爱的例子。 话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的群落,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物,这样,每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长,要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样一来,队长面子上挂不住了,而且效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通,至于他们是如何连通的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。





下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号(依据题意而定),pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。 find这个函数就是找掌门用的,意义再清楚不过了(路径压缩算法先不论,后面再说)。

int find(int x) { //查找根节点

int r=x; while (pre[r ]!=r)//如果我的上级不是掌门

r=pre[r ];//我就接着找他的上级,直到找到掌门为止。

//返回根节点

return r;//掌门驾到~~~

} 再来看看join函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个pre[]数组,该如何实现呢? 还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”抗议无效,上天安排的,最大。反正谁加入谁效果是一样的,我就随手指定了一个。这段函数的意思很明白了吧?

void join(int x,int y)//我想让虚竹和周芷若做朋友

{ int fx=find(x),fy=find(y); //虚竹的老大是玄慈,

芷若MM的老大是灭绝

if(fx!=fy)//玄慈和灭绝显然不是同一个人

pre[fx ]=fy;//方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦

}

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样,我也完全无法预计,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。 设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是记己人,西礼西礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位同学请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻环。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂也没关系,直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。

回到开头提出的问题,我的代码如下:

#include int pre[1000 ];

int find(int x) {

int r=x;

while (pre[r ]!=r)

r=pre[r ];

int i=x; int j;

while(i!=r)

{

j=pre[i ]; pre[i ]=r; i=j;

}

return r;

}

int main()

{ int n,m,p1,p2,i,total,f1,f2;

while(scanf("%d",&n) && n)//读入n,如果n为0,结束 { //刚开始的时候,有n个城镇,一条路都没有 //那么要修n-1条路才能把它们连起来

total=n-1;

//每个点互相独立,自成一个集合,从1编号到n //所以每个点的上级都是自己

for(i=1;i<=n;i++) { pre[i ]=i; } //共有m条路

scanf("%d",&m); while(m--) { //下面这段代码,其实就是join函数,只是稍作改动以适应题目要求

//每读入一条路,看它的端点p1,p2是否已经在一个连通分支里了

scanf("%d %d",&p1,&p2);

f1=find(p1); f2=find(p2);

//如果是不连通的,那么把这两个分支连起来

//分支的总数就减少了1,还需建的路也就减了1

if(f1!=f2) { pre[f2 ]=f1; total--;

}

//如果两点已经连通了,那么这条路只是在图上增加了一个环 //对连通性没有任何影响,无视掉

}

//最后输出还要修的路条数

printf("%d\n",total); } return 0;

}

下面举一道经典的亲戚问题:

题目描述: 若某个家族人员过于庞大,要判断两个是否是亲戚,确实还很不容易,现在给出某个亲戚关系图,求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。

规定:x和y是亲戚,y和z是亲戚,那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚,那么x的亲戚都是y的亲戚,y的亲戚也都是x的亲戚。
输入格式 Input Format
第一行:三个整数n,m,p,(n<=5000,m<=5000,p<=5000),分别表示有n个人,m个亲戚关系,询问p对亲戚关系。以下m行:每行两个数Mi,Mj,1<=Mi,Mj<=N,表示Ai和Bi具有亲戚关系。接下来p行:每行两个数Pi,Pj,询问Pi和Pj是否具有亲戚关系。
输出格式 Output Format

P行,每行一个’Yes’或’No’。表示第i个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。

解题思路:

用并查集的方法,建立一棵关系树。起初先设所有的节点的父节点都为他自己,然后每输入一组关系,就先判断这两个节点的父节点是否相同,如果不同,则将其中一个节点设为另外一个节点的父节点。最后判断输入的节点是否有关系,也就是判断这两个节点的父节点是否相同。

我的代码:

1#include<iostream> 2using namespace std; 3 4int pre[5002]; 5 6int find(int x) 7{ 8 int r = x; 9 while(pre[r] != r){ 10 r = pre[r]; 11 } 12 int j, i=x; 13 while( i != r){ //剪枝 14 j = pre[i]; 15 pre[i] = r; 16 i = j; 17 } 18 return r; 19} 20 21void merge(int x, int y) 22{ 23 int fx, fy; 24 fx = find(x); 25 fy = find(y); 26 if(fx != fy) 27 pre[fx] = fy; 28} 29 30int main() 31{ 32 freopen("F:\\input.txt", "r", stdin); 33 freopen("F:\\output.txt", "w", stdout); 34 35 int n,m,p; 36 int num1, num2; 37 while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) != EOF) 38 { 39 int i; 40 //初始化各个人,使其父节点都为自己 41 for(i=1; i<=n; i++) 42 pre[i] = i; 43 //添加关系 44 for(i=1; i<=m; i++){ 45 scanf("%d%d", &num1, &num2); 46 merge(num1, num2); 47 } 48 //判断关系是否存在 49 for(i=1; i<=p; i++){ 50 scanf("%d%d", &num1, &num2); 51 int fx = find(num1); 52 int fy = find(num2); 53 if(fx == fy) 54 printf("YES\n"); 55 else 56 printf("NO\n"); 57 } 58 59 } 60 return 0; 61} 62

代码中“剪枝”的意思就是压缩树的长度,例如:

P.S.这样做可以提高搜索一个节点父节点的效率

代码主要分为两部分:

  1. find() 用于寻找父节点

1int find(int x) 2{ 3 int r = x; 4 while(pre[r] != r){ 5 r = pre[r]; 6 } 7 int j, i=x; 8 while( i != r){ //剪枝 9 j = pre[i]; 10 pre[i] = r; 11 i = j; 12 } 13 return r; 14} 15
  1. merge() 用于将节点插入树中

1void merge(int x, int y) 2{ 3 int fx, fy; 4 fx = find(x); 5 fy = find(y); 6 if(fx != fy) 7 pre[fx] = fy; 8} 9

代码交流 2021